Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{7} t^{2} - 2 t - 24 d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 24 t]_{1}^{7}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}$ et $- 24 t]_{1}^{7}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} - 24 t]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} t^{3} - 24 t$ sur $7$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{t^{2}}{2}$ sur $7$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 343 - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $343$ .

$\frac{343}{3} - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $- 24$ par $7$ .

$\frac{343}{3} - 168 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.4

Pour écrire $- 168$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{343}{3} - 168 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.5

Associez $- 168$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{343}{3} + \frac{- 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{343 - 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.7.1

Multipliez $- 168$ par $3$ .

$\frac{343 - 504}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.7.2

Soustrayez $504$ de $343$ .

$\frac{- 161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.11

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.12

Pour écrire $- 24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.13

Associez $- 24$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 24 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.15.1

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 72}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.15.2

Soustrayez $72$ de $1$ .

$- \frac{161}{3} - \frac{- 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{161}{3} - - \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{161}{3} + 1 (\frac{71}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.18

Multipliez $\frac{71}{3}$ par $1$ .

$- \frac{161}{3} + \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 161 + 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.20

Additionnez $- 161$ et $71$ .

$\frac{- 90}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.21

Annulez le facteur commun à $- 90$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.21.1

Factorisez $3$ à partir de $- 90$ .

$\frac{3 \cdot - 30}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.21.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 30}{3 (1)} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 30}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 30}{1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.21.2.4

Divisez $- 30$ par $1$ .

$- 30 - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.22

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.2.3.23

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 7.2.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 30 - 2 \frac{49 - 1}{2}$

Étape 7.2.3.25

Soustrayez $1$ de $49$ .

$- 30 - 2 (\frac{48}{2})$

Étape 7.2.3.26

Annulez le facteur commun à $48$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.26.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2}$

Étape 7.2.3.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Étape 7.2.3.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 30 - 2 (\frac{24}{1})$

Étape 7.2.3.26.2.4

Divisez $24$ par $1$ .

$- 30 - 2 \cdot 24$

Étape 7.2.3.27

Multipliez $- 2$ par $24$ .

$- 30 - 48$

Étape 7.2.3.28

Soustrayez $48$ de $- 30$ .

$- 78$

Étape 8