Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez ${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ comme $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ .

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.2

Développez $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $7 (- \frac{4}{y})$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.2.2

Associez $- 7$ et $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.2.3

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- \frac{4}{y} \cdot 7$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.4.2

Associez $- 7$ et $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.4.3

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

Étape 1.3.1.6.2

Multipliez $\frac{4}{y}$ par $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

Étape 1.3.1.6.3

Multipliez $\frac{4}{y}$ par $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

Étape 1.3.1.6.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

Étape 1.3.1.6.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

Étape 1.3.1.6.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

Étape 1.3.1.6.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

Étape 1.3.1.6.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 1.3.2

Soustrayez $\frac{28}{y}$ de $- \frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Multipliez $- 2 \frac{28}{y}$ .

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Étape 1.4.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $28$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 5

Comme $56$ est constant par rapport à $y$ , placez $56$ en dehors de l’intégrale.

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 6

Multipliez $56$ par $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Étape 8

Comme $16$ est constant par rapport à $y$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1.1

Évaluez $49 y$ sur $5$ et sur $1$ .

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Étape 11.1.2

Évaluez $\ln (| y |)$ sur $5$ et sur $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Étape 11.1.3

Évaluez $- y^{- 1}$ sur $5$ et sur $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 11.1.4

Simplifiez

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Étape 11.1.4.1

Multipliez $49$ par $5$ .

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 11.1.4.2

Multipliez $- 49$ par $1$ .

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 11.1.4.3

Soustrayez $49$ de $245$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 11.1.4.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Étape 11.1.4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

Étape 11.1.4.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Étape 11.1.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

Étape 11.1.4.8

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

Étape 11.1.4.9

Associez $16$ et $\frac{4}{5}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

Étape 11.1.4.10

Multipliez $16$ par $4$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

Étape 11.1.4.11

Pour écrire $196$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.4.12

Associez $196$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.4.14.1

Multipliez $196$ par $5$ .

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.4.14.2

Additionnez $980$ et $64$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 11.1.4.15

Pour écrire $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

Étape 11.1.4.16

Associez $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Étape 11.1.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Étape 11.1.4.18

Multipliez $5$ par $- 56$ .

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

Étape 11.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

Étape 11.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

Étape 11.3.3

Divisez $5$ par $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Forme décimale :

$118.67147690 \dots$

Étape 13