Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{5} \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} x \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - (x]_{1}^{5})$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\ln (x) x$ sur $5$ et sur $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{5})$

Étape 4.2

Évaluez $x$ sur $5$ et sur $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Déplacez $5$ à gauche de $\ln (5)$ .

$5 \cdot \ln (5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - ((5) - 1)$

Étape 4.3.3

Soustrayez $1$ de $5$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 1 \cdot 4$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 4$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$5 \ln (5) - 0 - 4$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 \ln (5) + 0 - 4$

Étape 5.2

Additionnez $5 \ln (5)$ et $0$ .

$5 \ln (5) - 4$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$5 \ln (5) - 4$

Forme décimale :

$4.04718956 \dots$