Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} x \sqrt{x} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{4} x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Étape 1.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.2.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{2}{5}$ et $32$ .

$\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $32$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

Étape 3.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 - 2}{5}$

Étape 3.2.10

Soustrayez $2$ de $64$ .

$\frac{62}{5}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{62}{5}$

Forme décimale :

$12.4$

Forme de nombre mixte :

$12 \frac{2}{5}$

Étape 5