Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x} - 10 \sqrt[3]{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} - 10 \sqrt[3]{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \sqrt[3]{x}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.2

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 3.10

Associez $- 10$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 10 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 3.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 10}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{10}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{3 x^{\frac{2}{3}}}$