Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

Étape 1

Séparez l’intégrale en deux intégrales où $c$ est une valeur comprise entre $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Étape 3

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Étape 4

Prenez la dérivée de $- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Étape 5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Étape 6

Prenez la dérivée de $\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez les termes.

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Étape 7.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Étape 7.3.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 (x)$ .

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Étape 7.3.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Étape 7.3.3.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

Étape 7.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

Étape 7.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.5.1

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

Étape 7.3.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

Étape 7.3.5.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

Étape 7.3.6

Additionnez $8 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$16 x^{2}$