Calcul infinitésimal Exemples

$40 h^{5} + 4000000 = p^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d p} (40 h^{5} + 4000000) = \frac{d}{d p} (p^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40 h^{5} + 4000000$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$ .

$\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d p} [40 h^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $40$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $40 h^{5}$ par rapport à $p$ est $40 \frac{d}{d p} [h^{5}]$ .

$40 \frac{d}{d p} [h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ est $f' (g (p)) g' (p)$ où $f (p) = p^{5}$ et $g (p) = h$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $h$ .

$40 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$40 (5 u^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $h$ .

$40 (5 h^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d p} [h]$ comme $h'$ .

$40 (5 h^{4} h') + \frac{d}{d p} [4000000]$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $40$ .

$200 h^{4} h' + \frac{d}{d p} [4000000]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $4000000$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $4000000$ par rapport à $p$ est $0$ .

$200 h^{4} h' + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $200 h^{4} h'$ et $0$ .

$200 h^{4} h'$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 p^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$200 h^{4} h' = 3 p^{2}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ par $200 h^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ par $200 h^{4}$ .

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $200$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $h^{4}$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $h'$ par $1$ .

$h' = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Étape 6

Remplacez $h'$ par $\frac{d h}{d p}$ .

$\frac{d h}{d p} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$