Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{4} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{4}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$4 \cdot x^{2} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} (2 x)$

Étape 2.6

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.6.1

Déplacez $2$ à gauche de $y^{4}$ .

$4 x^{2} y^{3} y' + 2 \cdot y^{4} x$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 y^{3} x^{2} y' + 2 y^{4} x$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y^{3} x^{2} y' + 2 y^{4} x = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 y^{4} x$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{3} x^{2} y' = - 2 y^{4} x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 y^{3} x^{2} y' = - 2 y^{4} x$ par $4 y^{3} x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{3} x^{2} y' = - 2 y^{4} x$ par $4 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{4 y^{3} x^{2} y'}{4 y^{3} x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3} x^{2} y'}{4 y^{3} x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} x^{2} y'}{y^{3} x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} x^{2} y'}{y^{3} x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{4} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{4} x)}{4 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{4} x)}{2 (2 y^{3} x^{2})}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{4} x)}{2 (2 y^{3} x^{2})}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{4} x}{2 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y^{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- y^{4} x$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x)}{2 y^{3} x^{2}}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $2 y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x)}{y^{3} (2 x^{2})}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{3} (- y x)}{y^{3} (2 x^{2})}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x}{2 x^{2}}$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{2 x^{2}}$

Étape 5.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (2 x)}$

Étape 5.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- y)}{x (2 x)}$

Étape 5.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{2 x}$

Étape 5.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{2 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$