Calcul infinitésimal Exemples

$\int y \sqrt{2 y + 2} d y$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = \sqrt{2 y + 2}$ .

$y (\frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y \frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 2.2

Associez $y$ et $\frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y)$

Étape 4

Laissez $u = 2 y + 2$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 y + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $u^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$\frac{y}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Associez $\frac{y}{3}$ et ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2.4

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $30$ .

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Étape 9.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 9.2.6

Pour écrire $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

Étape 9.2.7

Associez $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Étape 9.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Étape 9.2.9

Associez $u^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{1}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

Étape 9.2.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Étape 9.2.11

Associez $- 3$ et $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Étape 9.2.12

Factorisez $3$ à partir de $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

Étape 9.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

Étape 9.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

Étape 9.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Étape 9.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Étape 9.2.15

Pour écrire $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Étape 9.2.16

Associez $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Étape 9.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Étape 9.2.18

Déplacez $5$ à gauche de $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot (y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Étape 9.2.19

Réécrivez $\frac{\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ comme un produit.

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

Étape 9.2.20

Multipliez $\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Étape 9.2.21

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y + 2$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{15} (5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$