Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ comme une équation.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ par $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

Étape 3.5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Étape 3.5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Étape 3.5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.1

Simplifiez $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

Étape 3.5.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ est l’inverse de $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Étape 5.2.3.1.2

Divisez $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

Étape 5.2.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Étape 5.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

Étape 5.3.3.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

Étape 5.3.3.4.4

Divisez $e^{\frac{x}{2}} - 1$ par $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $e^{\frac{x}{2}}$ et $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 5.3.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{x}{2}$ de l’exposant.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Étape 5.3.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Étape 5.3.7

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ est l’inverse de $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$