Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{(d x) \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Étape 1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{x (\int_{0}^{x} 13 t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Étape 3

Comme $13$ est constant par rapport à $t$ , placez $13$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x (13 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} t^{\frac{1}{2}} d t)}$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{x})}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{t^{3}}{3}$ sur $x$ et sur $0$ .

$\frac{1}{x (13 ((\frac{x^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $x$ et sur $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.4

Additionnez $\frac{x^{3}}{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{x (13 \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.5

Associez $13$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.2.3.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

Étape 7.2.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

Étape 7.2.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})}$

Étape 7.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})}$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{3})}$

Étape 7.2.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3})}$

Étape 7.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

Étape 7.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

Étape 7.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{1})}$

Étape 7.2.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 0)}$

Étape 7.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 0)}$

Étape 7.2.3.13

Additionnez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x (\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 8.1.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 8.1.1.1.1

Remettez dans l’ordre $\frac{13}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 8.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

Étape 8.1.1.2

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $x^{3} \frac{13}{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

Étape 8.1.1.3

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{3})$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3} + \frac{2}{3}))}$

Étape 8.1.2

Associez $x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{13}{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 13}{3} + \frac{2}{3}))}$

Étape 8.1.3

Déplacez $13$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3}))}$

Étape 8.1.4

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Étape 8.1.5

Multipliez $x$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.5.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 8.1.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Étape 8.1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{1 + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Étape 8.1.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Étape 8.1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{2 + 3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Étape 8.1.5.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Étape 8.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}}$

Étape 8.2

Associez $x^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}{3}}$

Étape 8.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$ par $1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$