Calcul infinitésimal Exemples

$4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y) = 5 \sin (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (5 \sin (y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x \cos (y)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (y)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$4 (x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.2.6

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \sin (2 y)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 y'))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 14 \cos (2 y) y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x (- \sin (y) y')) + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \sin (y)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5 (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 \cos (y) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

Étape 5.2

Soustrayez $4 \cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = 5 \cos (y) y' - 4 \cos (y)$

Étape 5.3

Soustrayez $5 \cos (y) y'$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y'$ .

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x \sin (y) y' + (14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Étape 5.4.1.1.2

Multipliez $14$ par $1$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Étape 5.4.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $14$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 - 28 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Étape 5.4.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Étape 5.4.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y'$ .

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Étape 5.5

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y)$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 x y' \sin (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Étape 5.5.1.2

Factorisez $y'$ à partir de $14 y'$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 28 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Étape 5.5.1.4

Factorisez $y'$ à partir de $- 5 y' \cos (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Étape 5.5.1.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Étape 5.5.1.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Étape 5.5.1.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y))$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ par $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ par $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x \sin (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3.3

Réécrivez $14$ comme $- 1 (- 14)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 28 \sin^{2} (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \cos (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))}$

Étape 5.5.2.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

Étape 5.5.2.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.2.3.9.1

Réécrivez $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ comme $- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

Étape 5.5.2.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - - \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' = 1 \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Étape 5.5.2.3.9.4

Multipliez $\frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$ par $1$ .

$y' = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$