Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \ln (4 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (4 x)$ et $d v = x^{2}$ .

$\ln (4 x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\ln (4 x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (4 x)$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $\frac{1}{3} \ln (4 x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{1}{3} \ln (4 x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (4 x)$ .

$\frac{\ln (4 x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{\ln (4 x)}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Étape 6.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

Étape 6.3

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} \ln (4 x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$