Calcul infinitésimal Exemples

$\int 48 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} d x$

Étape 1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , placez $48$ en dehors de l’intégrale.

$48 \int x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{3} + 4$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = x^{3} + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $x^{3} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$48 \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$48 \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$48 (\frac{1}{3} \int u^{3} d u)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $48$ .

$\frac{48}{3} \int u^{3} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $48$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} \int u^{3} d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3 (1)} \int u^{3} d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{1} \int u^{3} d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $16$ par $1$ .

$16 \int u^{3} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez $16 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ comme $16 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$16 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez $16$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{16}{4} u^{4} + C$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} u^{4} + C$

Étape 7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} u^{4} + C$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} u^{4} + C$

Étape 7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} u^{4} + C$

Étape 7.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 u^{4} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 4$ .

$4 {(x^{3} + 4)}^{4} + C$