Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{4}^{7} 6 (t^{2} - 11 t + 30) d t$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{4}^{7} t^{2} - 11 t + 30 d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$6 (\int_{4}^{7} t^{2} d t + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} t^{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Étape 5

Comme $- 11$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 11$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 \int_{4}^{7} t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{1}{2} t^{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + 30 t]_{4}^{7})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7}$ et $30 t]_{4}^{7}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3} + 30 t]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{t^{3}}{3} + 30 t$ sur $7$ et sur $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{t^{2}}{2}$ sur $7$ et sur $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$6 (\frac{343}{3} + 30 \cdot 7 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $30$ par $7$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.3

Pour écrire $210$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.4

Associez $210$ et $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + \frac{210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (\frac{343 + 210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.6.1

Multipliez $210$ par $3$ .

$6 (\frac{343 + 630}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.6.2

Additionnez $343$ et $630$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.7

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.8

Multipliez $30$ par $4$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.9

Pour écrire $120$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.10

Associez $120$ et $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 120 \cdot 3}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.12.1

Multipliez $120$ par $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 360}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.12.2

Additionnez $64$ et $360$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (\frac{973 - 424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.14

Soustrayez $424$ de $973$ .

$6 (\frac{549}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.15

Annulez le facteur commun à $549$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.15.1

Factorisez $3$ à partir de $549$ .

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 (1)} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 \cdot 1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{183}{1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.15.2.4

Divisez $183$ par $1$ .

$6 (183 - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.16

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{4^{2}}{2}))$

Étape 9.2.3.17

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{16}{2}))$

Étape 9.2.3.18

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}))$

Étape 9.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}))$

Étape 9.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{8}{1}))$

Étape 9.2.3.18.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 1 \cdot 8))$

Étape 9.2.3.19

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8))$

Étape 9.2.3.20

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 9.2.3.21

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}))$

Étape 9.2.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (183 - 11 \frac{49 - 8 \cdot 2}{2})$

Étape 9.2.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.23.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$6 (183 - 11 \frac{49 - 16}{2})$

Étape 9.2.3.23.2

Soustrayez $16$ de $49$ .

$6 (183 - 11 (\frac{33}{2}))$

Étape 9.2.3.24

Associez $- 11$ et $\frac{33}{2}$ .

$6 (183 + \frac{- 11 \cdot 33}{2})$

Étape 9.2.3.25

Multipliez $- 11$ par $33$ .

$6 (183 + \frac{- 363}{2})$

Étape 9.2.3.26

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 (183 - \frac{363}{2})$

Étape 9.2.3.27

Pour écrire $183$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 \cdot \frac{2}{2} - \frac{363}{2})$

Étape 9.2.3.28

Associez $183$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{183 \cdot 2}{2} - \frac{363}{2})$

Étape 9.2.3.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 \frac{183 \cdot 2 - 363}{2}$

Étape 9.2.3.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.30.1

Multipliez $183$ par $2$ .

$6 \frac{366 - 363}{2}$

Étape 9.2.3.30.2

Soustrayez $363$ de $366$ .

$6 (\frac{3}{2})$

Étape 9.2.3.31

Associez $6$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{2}$

Étape 9.2.3.32

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{18}{2}$

Étape 9.2.3.33

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.33.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Étape 9.2.3.33.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.33.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Étape 9.2.3.33.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.33.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{1}$

Étape 9.2.3.33.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$9$

Étape 10