Calcul infinitésimal Exemples

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

Étape 1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 7$ en dehors de l’intégrale.

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

Étape 5

Laissez $u = 4 x - 2$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 4 x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Étape 8.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Étape 10

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Étape 10.1

Réécrivez $- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ comme $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 10.2.2

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 10.2.3

Pour écrire $- \frac{1}{16} e^{u}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Étape 10.2.4

Associez $- \frac{1}{16} e^{u}$ et $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

Étape 10.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

Étape 10.2.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

Étape 10.2.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

Étape 10.2.8

Associez $- 4$ et $\frac{e^{u}}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

Étape 10.2.9

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $16$ .

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Étape 10.2.9.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 e^{u}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

Étape 10.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

Étape 10.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

Étape 10.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

Étape 10.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Étape 10.2.11

Pour écrire $x e^{4 x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Étape 10.2.12

Associez $x e^{4 x - 2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Étape 10.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

Étape 10.2.14

Déplacez $4$ à gauche de $x e^{4 x - 2}$ .

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

Étape 10.2.15

Réécrivez $\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ comme un produit.

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Étape 10.2.16

Multipliez $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

Étape 10.2.17

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

Étape 10.2.18

Associez $- 7$ et $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ .

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Étape 10.2.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 2$ .

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$