Calcul infinitésimal Exemples

$- \int t \ln (t) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (t)$ et $d v = t$ .

$- (\ln (t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$- (\ln (t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Étape 2.2

Associez $\ln (t)$ et $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{t} d t)$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{t^{2}}{2}$ par $\frac{1}{t}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2 t} d t)$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $t^{2}$ et $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{2 t} d t)$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Factorisez $t$ à partir de $2 t$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t}{2} d t)$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t))$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C))$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$

Étape 5.2

Réécrivez $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$ comme $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2}) + C$