Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 9 t$ . Alors $d u_{1} = 9 d t$ , donc $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 9 t$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Étape 2.1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9 t$ par rapport à $t$ est $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$9$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Étape 3

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Alors $d u_{2} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7

Associez $\sin (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 9

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$