Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{7 x + 4} d x$

Étape 1

Laissez $u = 7 x + 4$ . Alors $d u = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 7 x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $7 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [7 x + 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$7$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{7} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} \int \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{7 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{2}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 4$ .

$\frac{2}{21} {(7 x + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$