Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{3} - 12 x^{2} - 45 x + 2$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} - 12 x^{2} - 45 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 45 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 45 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 45 x$ par rapport à $x$ est $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 24 x - 45 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 24 x - 45 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $- 45$ par $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 24 x - 45 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 24 x - 45 + 0$

Étape 1.1.1.5.2

Additionnez $- 3 x^{2} - 24 x - 45$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 24 x - 45$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} - 24 x - 45$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 45]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (- 45)$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $- 45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 45$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - 24 + 0$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $- 6 x - 24$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - 24$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x - 24$ .

$- 6 x - 24$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x - 24 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 6 x - 24 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 x = 24$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 6 x = 24$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x = 24$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{24}{- 6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{24}{- 6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{24}{- 6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $24$ par $- 6$ .

$x = - 4$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = - 6 \cdot - 6 - 24$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$f'' (- 6) = 36 - 24$

Étape 4.2.2

Soustrayez $24$ de $36$ .

$f'' (- 6) = 12$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 4)$ car $f'' (- 6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 - 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Étape 5.2.2

Soustrayez $24$ de $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 4, \infty)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 4, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 4, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7