Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{x}{3}$ . Alors $d u = \frac{1}{3} d x$ , donc $3 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\ln (27)$ comme $\ln (3^{3})$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

Étape 1.3.2

Développez $\ln (3^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Étape 1.3.3.2

Divisez $\ln (3)$ par $1$ .

$u_{lower} = \ln (3)$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez $\frac{\ln (216)}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln (216)$ .

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

Étape 1.5.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (216)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.5.3

Réécrivez $216$ comme $6^{3}$ .

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.5.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Étape 1.5.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Étape 1.5.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

Étape 1.5.6

Évaluez l’exposant.

$u_{upper} = \ln (6)$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

Étape 2.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{u}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $e^{u}$ sur $\ln (6)$ et sur $\ln (3)$ .

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

Étape 5.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (6 - 3)$

Étape 5.2.4

Soustrayez $3$ de $6$ .

$3 \cdot 3$

Étape 5.2.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$9$

Étape 6