Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $9 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} y^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2} - 4 y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Étape 1.2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4 = 9 x^{2}$

Étape 1.2.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4$ .

$y^{2} (x^{2} - 4) = 9 x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 9 x^{2}$

Étape 1.4

Factorisez.

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Étape 1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$y^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 x^{2}$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ par $(x + 2) (x - 2)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ par $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5.2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 1.7

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ .

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Étape 1.7.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ comme $\frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 1.7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 1.7.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 1.7.3

Multipliez $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 1.7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 1.7.4.2

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Étape 1.7.4.3

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}$

Étape 1.7.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}$

Étape 1.7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}$

Étape 1.7.4.6

Réécrivez ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ comme $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 1.7.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ comme ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.7.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.7.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.7.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.7.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}$

Étape 1.7.4.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Étape 3.2.4.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Étape 3.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Étape 3.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Étape 3.5.1.2

Ajoutez $18 x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 3.5.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 3.5.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 3.5.4

Factorisez.

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Étape 3.5.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 3.5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Étape 3.5.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ par $2 y (x + 2) (x - 2)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ par $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.2.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.5.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.2.4.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.5.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.5.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.5.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Étape 3.5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Étape 3.5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$

Étape 4.1.2

Since $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 4.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 4.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 4.1.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 4.1.6

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 4.1.7

Le plus petit multiple commun de $y^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y$

Étape 4.1.8

Le facteur pour $x + 2$ est $x + 2$ lui-même.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 4.1.9

Le facteur pour $x - 2$ est $x - 2$ lui-même.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 4.1.10

Le facteur pour $x + 2$ est $x + 2$ lui-même.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 4.1.11

Le facteur pour $x - 2$ est $x - 2$ lui-même.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 4.1.12

Le plus petit multiple commun de $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x + 2) (x - 2)$

Étape 4.1.13

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$y (x + 2) (x - 2)$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ par $y (x + 2) (x - 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ par $y (x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)}$ dans le numérateur.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.1.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (y)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- y x y + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 1 x (y^{1} y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 1 x (y^{1} y^{1}) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 x y^{1 + 1} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $y (x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + y \cdot 2) (x - 2))$

Étape 4.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + 2 \cdot y) (x - 2))$

Étape 4.2.3.2

Développez $(y x + 2 y) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x (x - 2) + 2 y (x - 2))$

Étape 4.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y (x - 2))$

Étape 4.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2)$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.3.3.1

Associez les termes opposés dans $y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2$ .

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Étape 4.2.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y x \cdot - 2$ et $2 y x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x - 2 x y + 2 x y + 2 y \cdot - 2)$

Étape 4.2.3.3.1.2

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 0 + 2 y \cdot - 2)$

Étape 4.2.3.3.1.3

Additionnez $y x \cdot x$ et $0$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 2 y \cdot - 2)$

Étape 4.2.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.3.2.1.1

Déplacez $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x \cdot x) + 2 y \cdot - 2)$

Étape 4.2.3.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} + 2 y \cdot - 2)$

Étape 4.2.3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} - 4 y)$

Étape 4.2.3.3.3

Multipliez $0$ par $y x^{2} - 4 y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x y^{2} + 9 x$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x y^{2}$ .

$x (- 1 y^{2}) + 9 x = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $9 x$ .

$x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9 = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9$ .

$x (- 1 y^{2} + 9) = 0$

Étape 4.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x (- 1 y^{2} + 3^{2}) = 0$

Étape 4.3.3

Remettez dans l’ordre $- 1 y^{2}$ et $3^{2}$ .

$x (3^{2} - 1 y^{2}) = 0$

Étape 4.3.4

Factorisez.

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Étape 4.3.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = y$ .

$x ((3 + y) (3 - y)) = 0$

Étape 4.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (3 + y) (3 - y) = 0$

Étape 4.3.5

Divisez chaque terme dans $x (3 + y) (3 - y) = 0$ par $(3 + y) (3 - y)$ et simplifiez.

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Étape 4.3.5.1

Divisez chaque terme dans $x (3 + y) (3 - y) = 0$ par $(3 + y) (3 - y)$ .

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 4.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3 + y$ .

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Étape 4.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 4.3.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3 - y$ .

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Étape 4.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 4.3.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 4.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.5.3.1

Divisez $0$ par $(3 + y) (3 - y)$ .

$x = 0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ at $x = 0$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $(0) + 2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $((0) + 2) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Étape 5.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $(0) - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Étape 5.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(0 + 1) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Étape 5.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Étape 5.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0 \sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}$ .

$f (0) = \frac{0}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Étape 5.2.3.4

Élevez $0 - 1$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Étape 5.2.3.5

Élevez $0 - 1$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Étape 5.2.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $0$ par $- 1$ .

$f (0) = 0$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Étape 7