Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2}$ , $[0, 8]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12 x$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 12 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 12 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 12 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 4) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (x - 4) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 6 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2}$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 6 {(4)}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 - 6 \cdot 16$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$64 - 96$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $96$ de $64$ .

$- 32$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (4, - 32)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2}$

Étape 2.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 8$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $8$ .

${(8)}^{3} - 6 {(8)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$512 - 6 {(8)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$512 - 6 \cdot 64$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $64$ .

$512 - 384$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $384$ de $512$ .

$128$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (8, 128)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(8, 128)$

Minimum absolu : $(4, - 32)$

Étape 4