Calcul infinitésimal Exemples

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ .

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Étape 1.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{1 + x^{8}}$ .

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

Étape 1.2.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{6}{1 + x^{8}}$ .

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

Étape 1.3

Déplacez $6$ à gauche de $x^{3}$ .

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Étape 3

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = x^{4}$ . Alors $d u = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{1 + u^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Étape 5.2

Déplacez $4$ à gauche de $1 + u^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 7.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 7.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 7.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 7.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ par rapport à $u$ est $\arctan (u) + C$ .

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$