Calcul infinitésimal Exemples

$\int 8 y - \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 8 y d y + \int - \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Étape 2

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int y d y + \int - \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - \int \frac{3}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - (3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{5}}} d y)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - (3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{5}}} d y)$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{5}}} d y$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Retirez $y^{\frac{1}{5}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int {(y^{\frac{1}{5}})}^{- 1} d y$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int y^{\frac{1}{5} \cdot - 1} d y$

Étape 6.2.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int y^{\frac{- 1}{5}} d y$

Étape 6.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 \int y^{- \frac{1}{5}} d y$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{5}}$ par rapport à $y$ est $\frac{5}{4} y^{\frac{4}{5}}$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{5}{4} y^{\frac{4}{5}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $y^{\frac{4}{5}}$ .

$8 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{5 y^{\frac{4}{5}}}{4} + C)$

Étape 8.2

Simplifiez

$4 y^{2} - 3 \frac{5 y^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{5 y^{\frac{4}{5}}}{4}$ .

$4 y^{2} + \frac{- 3 (5 y^{\frac{4}{5}})}{4} + C$

Étape 8.3.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$4 y^{2} + \frac{- 15 y^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

Étape 8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 y^{2} - \frac{15 y^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 y^{2} - \frac{15}{4} y^{\frac{4}{5}} + C$