Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{p}^{- p} \sqrt{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ comme $\sqrt[6]{x}$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Étape 2

Séparez l’intégrale en deux intégrales où $c$ est une valeur comprise entre $p$ et $- p$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Étape 4

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d p} [- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Étape 5

Prenez la dérivée de $- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x$ par rapport à $p$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Étape 6

Prenez la dérivée de $\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ par rapport à $p$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [- p] \sqrt[6]{- p}$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- p$ par rapport à $p$ est $- \frac{d}{d p} [p]$ .

$- \sqrt[6]{p} - \frac{d}{d p} [p] \sqrt[6]{- p}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sqrt[6]{p} - 1 \cdot 1 \sqrt[6]{- p}$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \sqrt[6]{p} - \sqrt[6]{- p}$