Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale en deux intégrales où $c$ est une valeur comprise entre $x$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Étape 3

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Étape 4

Prenez la dérivée de $- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Étape 5

Prenez la dérivée de $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{7}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{7}}$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{7}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 7}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{14}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$

Étape 7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$ .

$2 x e^{x^{14}} - e^{x^{7}}$