Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\sqrt[3]{x}}^{2 π} \cos (t^{3}) d t$

Étape 1

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t]$

Étape 2

Prenez la dérivée de $- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Étape 10

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}))$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{1}{3} \cdot 3}))$

Étape 10.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

Étape 10.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{1}))$

Étape 10.5

Simplifiez

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x))$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $\cos (x)$ .

$- \frac{\cos (x)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$