Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{t \sqrt{2 t}} d t d t$

Étape 1

Multipliez $\frac{1}{t \sqrt{2 t}}$ par $\frac{\sqrt{2 t}}{\sqrt{2 t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{1}{t \sqrt{2 t}} \cdot \frac{\sqrt{2 t}}{\sqrt{2 t}} d t d t]$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{t \sqrt{2 t}}$ par $\frac{\sqrt{2 t}}{\sqrt{2 t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t \sqrt{2 t} \sqrt{2 t}} d t d t]$

Étape 2.2

Déplacez $\sqrt{2 t}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t (\sqrt{2 t} \sqrt{2 t})} d t d t]$

Étape 2.3

Élevez $\sqrt{2 t}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t ({\sqrt{2 t}}^{1} \sqrt{2 t})} d t d t]$

Étape 2.4

Élevez $\sqrt{2 t}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t ({\sqrt{2 t}}^{1} {\sqrt{2 t}}^{1})} d t d t]$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {\sqrt{2 t}}^{1 + 1}} d t d t]$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {\sqrt{2 t}}^{2}} d t d t]$

Étape 2.7

Réécrivez ${\sqrt{2 t}}^{2}$ comme $2 t$ .

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Étape 2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 t}$ comme ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {({(2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t d t]$

Étape 2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {(2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t d t]$

Étape 2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} d t d t]$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} d t d t]$

Étape 2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t {(2 t)}^{1}} d t d t]$

Étape 2.7.5

Simplifiez

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t (2 t)} d t d t]$

Étape 3

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $t$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t \cdot t \cdot 2} d t d t]$

Étape 3.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{t^{2} \cdot 2} d t d t]$

Étape 4

Déplacez $2$ à gauche de $t^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sqrt{2 t}}{2 t^{2}} d t d t]$

Étape 5

Comme $\int \frac{\sqrt{2 t}}{2 t^{2}} d t d t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\int \frac{\sqrt{2 t}}{2 t^{2}} d t d t$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$