Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{7 x^{2} - 9 x + 54}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)$ .

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 9$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.5.2

Divisez $7 x^{2} - 9 x + 54$ par $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{A ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.6.1.2

Divisez $(A) (x^{2} + 9)$ par $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.6.3

Déplacez $9$ à gauche de $A$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.6.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 9$ .

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Étape 1.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Étape 1.1.6.4.2

Divisez $(B x + C) (x - 3)$ par $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

Étape 1.1.6.5

Développez $(B x + C) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

Étape 1.1.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

Étape 1.1.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Étape 1.1.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.6.1.1

Déplacez $x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Étape 1.1.6.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Étape 1.1.6.6.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $B x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

Étape 1.1.6.6.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $C$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

Étape 1.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.7.1

Déplacez $B$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

Étape 1.1.7.2

Déplacez $9 A$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$7 = A + B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 9 = - 3 B + C$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$54 = 9 A - 3 C$

Étape 1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $7 = A + B$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 7$ .

$A + B = 7$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $7 - B$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $54 = 9 A - 3 C$ par $7 - B$ .

$54 = 9 (7 - B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$54 = 9 \cdot 7 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Étape 1.3.2.2.1.2

Multipliez $9$ par $7$ .

$54 = 63 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Étape 1.3.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Étape 1.3.3

Remettez dans l’ordre $7$ et $- B$ .

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$- 9 = - 3 B + C$

Étape 1.3.4

Résolvez $C$ dans $- 9 = - 3 B + C$ .

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Étape 1.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 B + C = - 9$ .

$- 3 B + C = - 9$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

Étape 1.3.4.2

Ajoutez $3 B$ aux deux côtés de l’équation.

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

Étape 1.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $- 9 + 3 B$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $54 = 63 - 9 B - 3 C$ par $- 9 + 3 B$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.5.2.1

Simplifiez $63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$ .

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Étape 1.3.5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$54 = 63 - 9 B - 3 \cdot - 9 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.5.2.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 9$ .

$54 = 63 - 9 B + 27 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.5.2.1.1.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.5.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.5.2.1.2.1

Additionnez $63$ et $27$ .

$54 = - 9 B + 90 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.5.2.1.2.2

Soustrayez $9 B$ de $- 9 B$ .

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.6

Résolvez $B$ dans $54 = - 18 B + 90$ .

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Étape 1.3.6.1

Réécrivez l’équation comme $- 18 B + 90 = 54$ .

$- 18 B + 90 = 54$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.6.2.1

Soustrayez $90$ des deux côtés de l’équation.

$- 18 B = 54 - 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.6.2.2

Soustrayez $90$ de $54$ .

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.6.3

Divisez chaque terme dans $- 18 B = - 36$ par $- 18$ et simplifiez.

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Étape 1.3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $- 18 B = - 36$ par $- 18$ .

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 18$ .

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Étape 1.3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.6.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.6.3.3.1

Divisez $- 36$ par $- 18$ .

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $C = - 9 + 3 B$ par $2$ .

$C = - 9 + 3 (2)$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.7.2.1

Simplifiez $- 9 + 3 (2)$ .

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Étape 1.3.7.2.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$C = - 9 + 6$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.7.2.1.2

Additionnez $- 9$ et $6$ .

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Étape 1.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B + 7$ par $2$ .

$A = - (2) + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

Étape 1.3.7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.7.4.1

Simplifiez $- (2) + 7$ .

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Étape 1.3.7.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$A = - 2 + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

Étape 1.3.7.4.1.2

Additionnez $- 2$ et $7$ .

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

Étape 1.3.8

Indiquez toutes les solutions.

$A = 5, C = - 3, B = 2$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $x$ .

$\int \frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{5}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{1}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = x - 3$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 4.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$ en deux fractions.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{- 3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 10

Laissez $u_{2} = x^{2} + 9$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 9$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 10.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 10.1.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 10.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 11.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 13.3

Multipliez $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - \int \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Étape 16

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Étape 17

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Étape 17.2

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $9$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Étape 17.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Étape 18

L’intégrale de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Étape 19.2

Simplifiez

$5 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Étape 20

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 20.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 3$ .

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Étape 20.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 9$ .

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{1}{3} x) + C$