Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{5}{2 x - 1} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$5 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$\frac{5}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C$