Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{300}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

Étape 1

Comme $300$ est constant par rapport à $x$ , placez $300$ en dehors de l’intégrale.

$300 \int \frac{1}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x + 25$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x + 25$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 25]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [25]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$300 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$300 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{2}$ .

$300 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$300 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $300$ .

$\frac{300}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $300$ et $3$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $300$ .

$\frac{3 \cdot 100}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 100}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{100}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5.1.2.2.4

Divisez $100$ par $1$ .

$100 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$100 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$100 \int u^{- 2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$100 (- u^{- 1} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $100 (- u^{- 1} + C)$ comme $100 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$100 (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$- 100 \frac{1}{u} + C$

Étape 7.2.2

Associez $- 100$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 100}{u} + C$

Étape 7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{100}{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 25$ .

$- \frac{100}{3 x + 25} + C$