Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{- 27 x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{27 x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{27 x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x$

Étape 3

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , placez $27$ en dehors de l’intégrale.

$- (27 \int \frac{x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x)$

Étape 4

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$- 27 \int \frac{x^{2}}{{(9 - 9 x^{3})}^{2}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 9 - 9 x^{3}$ . Alors $d u = - 27 x^{2} d x$ , donc $- \frac{1}{27} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 9 - 9 x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $9 - 9 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 9 x^{3}]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - 9 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 9 (3 x^{2})$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$0 - 27 x^{2}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $27 x^{2}$ de $0$ .

$- 27 x^{2}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 27 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 27} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 27 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{27}) d u$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{27}$ .

$- 27 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 27} d u$

Étape 6.3

Déplacez $27$ à gauche de $u^{2}$ .

$- 27 \int - \frac{1}{27 u^{2}} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 27 (- \int \frac{1}{27 u^{2}} d u)$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$27 \int \frac{1}{27 u^{2}} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{27}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{27}$ en dehors de l’intégrale.

$27 (\frac{1}{27} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{27}$ et $27$ .

$\frac{27}{27} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 10.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27}{27} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.3

Multipliez $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 10.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Étape 12

Réécrivez $- u^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - 9 x^{3}$ .

$- \frac{1}{9 - 9 x^{3}} + C$