Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 16 - 9 x^{2}$ . Alors $d u = - 18 x d x$ , donc $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 16 - 9 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $16 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 9 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$0 - 18 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $18 x$ de $0$ .

$- 18 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{18}$ .

$2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Étape 3.3

Déplacez $18$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$2 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{18}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{18}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{18}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $18$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 7.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 7.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{9} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{9}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - 9 x^{2}$ .

$- \frac{2}{9} {(16 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$