Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1 + x}{1 - x} d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $1$ et $x$ .

$\int \frac{x + 1}{1 - x} d x$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x$ .

$\int \frac{x + 1}{- x + 1} d x$

Étape 3

Divisez $x + 1$ par $- x + 1$ .

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Étape 3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Étape 3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$1$

Étape 3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$1$
				+	$x$	-	$1$

Étape 3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$1$
				-	$x$	+	$1$

Étape 3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$1$
				-	$x$	+	$1$
						+	$2$

Étape 3.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int - 1 + \frac{2}{- x + 1} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d x + \int \frac{2}{- x + 1} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$- x + C + \int \frac{2}{- x + 1} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- x + C + 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 7

Laissez $u = - x + 1$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 7.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- x + C + 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x + C + 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- x + C + 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$- x - 2 \ln (| u |) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x + 1$ .

$- x - 2 \ln (| - x + 1 |) + C$