Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x) \cot (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \sec^{2} (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 4.2.5

Multipliez $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 4.2.6

Séparez les fractions.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 4.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Étape 4.2.8

Séparez les fractions.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Étape 4.2.9

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Étape 4.2.10

Divisez $1^{2}$ par $1$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + 1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Étape 4.2.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + 1 \csc (x) \sec (x)$

Étape 4.2.12

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \csc (x) \sec (x)$