Calcul infinitésimal Exemples

$y = x {(x^{4} + 4)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{4} + 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{3}] + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{4} + 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 4$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 4)}^{2} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x (12 {(x^{4} + 4)}^{2} x^{3}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} x^{1} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3} \cdot 1$

Étape 8

Multipliez ${(x^{4} + 4)}^{3}$ par $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Factorisez ${(x^{4} + 4)}^{2}$ à partir de $x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2}) + {(x^{4} + 4)}^{3}$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez ${(x^{4} + 4)}^{2}$ à partir de $x^{4} (12 {(x^{4} + 4)}^{2})$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 4)}^{3}$

Étape 9.1.2

Factorisez ${(x^{4} + 4)}^{2}$ à partir de ${(x^{4} + 4)}^{3}$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} + 4)$

Étape 9.1.3

Factorisez ${(x^{4} + 4)}^{2}$ à partir de ${(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} + 4)$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (x^{4} \cdot (12) + x^{4} + 4)$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Déplacez $12$ à gauche de $x^{4}$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (12 \cdot x^{4} + x^{4} + 4)$

Étape 9.2.2

Additionnez $12 x^{4}$ et $x^{4}$ .

${(x^{4} + 4)}^{2} (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.3

Réécrivez ${(x^{4} + 4)}^{2}$ comme $(x^{4} + 4) (x^{4} + 4)$ .

$(x^{4} + 4) (x^{4} + 4) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.4

Développez $(x^{4} + 4) (x^{4} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{4} (x^{4} + 4) + 4 (x^{4} + 4)) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 4 + 4 (x^{4} + 4)) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 4 + 4 x^{4} + 4 \cdot 4) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.5.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 4 + 4 x^{4} + 4 \cdot 4) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.5.1.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$(x^{8} + x^{4} \cdot 4 + 4 x^{4} + 4 \cdot 4) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.5.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$(x^{8} + 4 \cdot x^{4} + 4 x^{4} + 4 \cdot 4) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.5.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$(x^{8} + 4 x^{4} + 4 x^{4} + 16) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.5.2

Additionnez $4 x^{4}$ et $4 x^{4}$ .

$(x^{8} + 8 x^{4} + 16) (13 x^{4} + 4)$

Étape 9.6

Développez $(x^{8} + 8 x^{4} + 16) (13 x^{4} + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{8} (13 x^{4}) + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$13 x^{8} x^{4} + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.2

Multipliez $x^{8}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.7.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$13 (x^{4} x^{8}) + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$13 x^{4 + 8} + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.2.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$13 x^{12} + x^{8} \cdot 4 + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{8}$ .

$13 x^{12} + 4 \cdot x^{8} + 8 x^{4} (13 x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 8 \cdot 13 x^{4} x^{4} + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.5

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.7.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 8 \cdot 13 (x^{4} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 8 \cdot 13 x^{4 + 4} + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.5.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 8 \cdot 13 x^{8} + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.6

Multipliez $8$ par $13$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 104 x^{8} + 8 x^{4} \cdot 4 + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.7

Multipliez $4$ par $8$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 104 x^{8} + 32 x^{4} + 16 (13 x^{4}) + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.8

Multipliez $13$ par $16$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 104 x^{8} + 32 x^{4} + 208 x^{4} + 16 \cdot 4$

Étape 9.7.9

Multipliez $16$ par $4$ .

$13 x^{12} + 4 x^{8} + 104 x^{8} + 32 x^{4} + 208 x^{4} + 64$

Étape 9.8

Additionnez $4 x^{8}$ et $104 x^{8}$ .

$13 x^{12} + 108 x^{8} + 32 x^{4} + 208 x^{4} + 64$

Étape 9.9

Additionnez $32 x^{4}$ et $208 x^{4}$ .

$13 x^{12} + 108 x^{8} + 240 x^{4} + 64$