Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

Étape 1

Laissez $u = e^{t} - 4$ . Alors $d u = e^{t} d t$ , donc $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = e^{t} - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $e^{t} - 4$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{t} - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$e^{t} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $e^{t}$ et $0$ .

$e^{t}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cot (u) d u$

Étape 2

L’intégrale de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\ln (| \sin (u) |) + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{t} - 4$ .

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$