Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.9

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Étape 2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Étape 2.3.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.3.14

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 2.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3.16

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3.17

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.3.18

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 4.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 4.1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 4.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 4.1.3.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 4.1.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.4

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Étape 5.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Étape 5.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.2.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 5.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.6

Le plus petit multiple commun de $3, 3, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 5.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{1}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.8

Le plus petit multiple commun pour $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ est la partie numérique $3$ multipliée par la partie variable.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x^{\frac{1 + 1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.3.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ dans le numérateur.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{\frac{2}{3}} = 2$

Étape 5.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez ${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 5.4.3.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$8 x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.3.1.4

Simplifiez

$8 x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$8 x = 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.4.2

Divisez chaque terme dans $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 5.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 5.4.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 5.4.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.4.4.4

Divisez chaque terme dans $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.4.1

Divisez chaque terme dans $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 5.4.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 5.4.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 5.4.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 5.4.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 6.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 x = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x = 0$

Étape 6.3.3

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 6.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 \frac{2^{1}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.2.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{4}{9 \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{2}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{9 (\frac{2}{4})} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 (1)}{4}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 (\frac{1}{2})} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.2

Associez $9$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$4 (\frac{2}{9}) + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $4 (\frac{2}{9})$ .

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Étape 9.1.4.1

Associez $4$ et $\frac{2}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.5.2.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.5.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.1.5.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Étape 9.1.5.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Étape 9.1.5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{4}}}$

Étape 9.1.5.3.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{4}{16})}$

Étape 9.1.5.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 (1)}{16}}$

Étape 9.1.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Étape 9.1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Étape 9.1.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{1}{4})}$

Étape 9.1.6

Associez $9$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{\frac{9}{4}}$

Étape 9.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{8}{9} + 2 (\frac{4}{9})$

Étape 9.1.8

Multipliez $2 (\frac{4}{9})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.8.1

Associez $2$ et $\frac{4}{9}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 4}{9}$

Étape 9.1.8.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{8}{9}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 + 8}{9}$

Étape 9.2.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$\frac{16}{9}$

Étape 10

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{4}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{16} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 (1)}{16} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.1.6.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.1.6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.1.6.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.1.6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.1.6.2

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.1.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.7.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 11.2.1.7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 11.2.1.7.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{2}}$

Étape 11.2.1.7.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 11.2.1.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 11.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{4}$

Étape 11.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1 - 2}{4}$

Étape 11.2.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = - \frac{1}{4}$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{2} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{9 (1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.6

Multipliez $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{4}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1.7.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 13.1.1.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.7.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.7.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.7.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.7.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1.7.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.7.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 \frac{2^{1}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.7.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{4}{9 \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1.1.8.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{2}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.8.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{9 (\frac{2}{4})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 13.1.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 (1)}{4}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 (\frac{1}{2})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.2

Associez $9$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$4 (\frac{2}{9}) + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.4

Multipliez $4 (\frac{2}{9})$ .

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Étape 13.1.4.1

Associez $4$ et $\frac{2}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 13.1.5.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Étape 13.1.5.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Étape 13.1.5.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Étape 13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Étape 13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{4} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Étape 13.1.5.5

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Étape 13.1.5.6

Multipliez $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.5.7.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.7.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.7.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.7.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.7.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.7.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.7.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.7.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.7.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1.5.8.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 13.1.5.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Étape 13.1.5.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.5.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Étape 13.1.5.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{4}}}$

Étape 13.1.5.8.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{4}{16})}$

Étape 13.1.5.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 13.1.5.9.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 (1)}{16}}$

Étape 13.1.5.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.5.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Étape 13.1.5.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Étape 13.1.5.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{1}{4})}$

Étape 13.1.6

Associez $9$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{\frac{9}{4}}$

Étape 13.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{8}{9} + 2 (\frac{4}{9})$

Étape 13.1.8

Multipliez $2 (\frac{4}{9})$ .

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Étape 13.1.8.1

Associez $2$ et $\frac{4}{9}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 4}{9}$

Étape 13.1.8.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{8}{9}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 + 8}{9}$

Étape 13.2.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$\frac{16}{9}$

Étape 14

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{\frac{4}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = 1 (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.7.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.7.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.7.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.7.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.7.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.7.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.7.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.7.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.7.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.8.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{4}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.8.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{16} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 15.2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 (1)}{16} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 15.2.1.10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.10.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 15.2.1.10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}))$

Étape 15.2.1.11

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.1.11.1

Déplacez ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot (- 1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.11.2

Multipliez ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ par $- 1$ .

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Étape 15.2.1.11.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot ((- 1) (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}))$

Étape 15.2.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3} + 1} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.11.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2 + 3}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.11.5

Additionnez $2$ et $3$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{5}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.12

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.13

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.14

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.14.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.14.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{5} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Étape 15.2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.1.16

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.16.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.16.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.1.16.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.16.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.1.16.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.1.16.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.16.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.1.16.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.1.16.2

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.1.17

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.17.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.1.17.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 15.2.1.17.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.17.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 15.2.1.17.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{2}}$

Étape 15.2.1.17.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 15.2.1.18

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 15.2.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{4}$

Étape 15.2.1.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 15.2.1.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 15.2.1.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 15.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 15.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1 - 2}{4}$

Étape 15.2.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 15.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = - \frac{1}{4}$

Étape 15.2.7

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 17.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{4}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 18

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 18.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) \cup (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0) \cup (0, \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) \cup (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, \infty)$

Étape 18.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 3$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.2.1.1

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$f' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{- 1 \cdot - 3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 3 (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})}{- 1 \cdot - 3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}}{- 1}$ .

$f' (- 3) = - 1 \cdot (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})$ comme $- (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})$ .

$f' (- 3) = - (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = - (4 {(- 3)}^{- \frac{2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = - (4 (\frac{1}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}})) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.1.7

Associez $4$ et $\frac{1}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.3

Pour écrire $- \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.4

Pour écrire $- \frac{2}{- 1 (- 3) {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $- - 3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.2.2.5.1

Multipliez $\frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.5.2

Multipliez $\frac{2}{- 1 (- 3) {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.5.4

Multipliez ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.2.2.5.4.1

Déplacez ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 ({(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 18.2.2.5.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 18.2.2.5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1 + 1}{3}}}$

Étape 18.2.2.5.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2.5.5

Réorganisez les facteurs de ${(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.2.2.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 3) = \frac{- 4 \cdot 3 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2.6.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 12 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2.7

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 12 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 12 - (2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (12) - (2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 (12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = - \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.2.2.11

La réponse finale est $- \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 18.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.18$ , de l’intervalle $(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.18$ dans l’expression.

$f' (- 0.18) = \frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.3.2

La réponse finale est $\frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.18$ , de l’intervalle $(0, \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.18$ dans l’expression.

$f' (0.18) = \frac{4 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.4.2.1.1

Élevez $0.18$ à la puissance $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.18) = \frac{4 \cdot 0.56462161}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $0.56462161$ .

$f' (0.18) = \frac{2.25848646}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.4.2.1.3

Divisez $2.25848646$ par $3$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.4.2.1.4

Élevez $0.18$ à la puissance $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{3 \cdot 0.56462161}$

Étape 18.4.2.1.5

Multipliez $3$ par $0.56462161$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{1.69386485}$

Étape 18.4.2.1.6

Divisez $2$ par $1.69386485$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - 1 \cdot 1.18073174$

Étape 18.4.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $1.18073174$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - 1.18073174$

Étape 18.4.2.2

Soustrayez $1.18073174$ de $0.75282882$ .

$f' (0.18) = - 0.42790292$

Étape 18.4.2.3

La réponse finale est $- 0.42790292$ .

$- 0.42790292$

Étape 18.5

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = \frac{4 {(3)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.5.2.1.1

Placez ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (3) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.2

Multipliez $3$ par $3^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.5.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $3^{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 18.5.2.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = \frac{4}{3^{1 - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{3 - 1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.2.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.3

Multipliez $3$ par ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.5.2.1.3.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 18.5.2.1.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Étape 18.5.2.1.3.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.2.2

Pour écrire $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3^{\frac{4}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.5.2.3.1

Multipliez $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.2.3.2

Multipliez $3^{\frac{2}{3}}$ par $3^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.5.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2 + 2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.2.3.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.5.2.5

La réponse finale est $\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 18.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ , $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local

Étape 18.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 18.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ , $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local

Étape 18.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ est un minimum local

Étape 19