Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (3 t - 5)}{3 t - 5} d t$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 3 t - 5$ . Alors $d u_{1} = 3 d t$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 3 t - 5$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 t - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 3} d u_{1}$

Étape 2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{3 u_{1}} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , donc $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 7

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Étape 7.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 t - 5$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (3 t - 5) + C$