Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 2.1.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.1.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 2.1.3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 2.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2 \ln (u) d u$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \ln (u) d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \ln (u)$ et $dv = 1$ .

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $u$ et $\frac{1}{u}$ .

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

Étape 7

Simplifiez

$2 (\ln (u) u - u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 9.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$