Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{5}{x}$ . Alors $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{5}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 x^{- 2}$

Étape 1.1.6

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Étape 1.1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}}$

Étape 1.1.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

Étape 2

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Étape 3

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Étape 4

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Étape 4.1

Simplifiez

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{5}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$