Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\frac{e^{u_{1}}}{2}$ et $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ .

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , donc $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{u_{1}}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

Étape 5.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ .

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Étape 7.3

Multipliez $\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ par $1$ .

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Étape 8

Laissez $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Alors $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ , donc $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Laissez $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Différenciez $e^{u_{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

Étape 8.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{2}}$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

Étape 9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u_{3}$ et $dv = \sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 11.2

Multipliez $\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ par $1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

Étape 13

Réécrivez $u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ comme $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ .

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $e^{u_{2}}$ .

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{u_{1}}{2}$ .

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

Étape 14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Réduisez l’expression $\frac{2 x}{2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Annulez le facteur commun.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Étape 15.1.2

Réécrivez l’expression.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Étape 15.2

Réduisez l’expression $\frac{2 x}{2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Annulez le facteur commun.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Étape 15.2.2

Réécrivez l’expression.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Étape 15.3

Réduisez l’expression $\frac{2 x}{2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

Annulez le facteur commun.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Étape 15.3.2

Réécrivez l’expression.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Étape 15.4

Divisez $x$ par $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Étape 15.5

Divisez $x$ par $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Étape 15.6

Divisez $x$ par $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$