Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Étape 1.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Étape 1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

Étape 7.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

Étape 7.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

Étape 7.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

Étape 7.4

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0$