Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 x + \cos (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 x d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

Étape 6.1.2

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{π}{2}$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{π}{2}))}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{π}{2})$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.4

Multipliez ${(\frac{π}{2})}^{2}$ par $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2} - {(\frac{π}{2})}^{2}}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.6

Soustrayez ${(\frac{π}{2})}^{2}$ de ${(\frac{π}{2})}^{2}$ .

$2 (\frac{0}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.1.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 \frac{2 (0)}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{0}{1}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 \cdot 0 + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.8

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.1.3.9

Additionnez $0$ et $\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$ .

$\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1 - \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$1 - \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$1 - - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6.3.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - - 1$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1$

Étape 6.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$2$