Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{2} (\sin (0) - 1)$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1)$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$