Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{4} u^{4}$ sur $1$ et sur $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

Étape 4.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Étape 4.2

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Étape 4.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 1}{16}$

Étape 4.5

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{3}{16}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{16}$

Forme décimale :

$0.1875$