Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} e^{\sin (q)} \cdot \cos (q) d q$

Étape 1

Laissez $u = \sin (q)$ . Alors $d u = \cos (q) d q$ , donc $\frac{1}{\cos (q)} d u = d q$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (q)$ . Déterminez $\frac{d u}{d q}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (q)$ .

$\frac{d}{d q} [\sin (q)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (q)$ par rapport à $q$ est $\cos (q)$ .

$\cos (q)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $q$ dans $u = \sin (q)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $q$ dans $u = \sin (q)$ .

$u_{upper} = \sin (π)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{upper} = \sin (0)$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} e^{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u}]_{1}^{0}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $e^{u}$ sur $0$ et sur $1$ .

$(e^{0}) - e^{1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - e^{1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

$1 - e$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$1 - e$

Forme décimale :

$- 1.71828182 \dots$