Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cot (x) d x$

Étape 1

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Évaluez $\ln (| \sin (x) |)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Étape 2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Étape 2.2.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ est d’environ $0.8660254$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 2.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ est d’environ $0.70710678$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 2.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\sqrt{3} \frac{1}{\sqrt{2}})$

Étape 2.3.5

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Forme décimale :

$0.20273255 \dots$