Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3^{x}}{\log_{3} (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = \log_{3} (x)$ .

$\frac{\log_{3} (x) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 3

La dérivée de $\log_{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 4

Associez $\frac{1}{x \ln (3)}$ et $3^{x}$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Factorisez $3^{x}$ à partir de $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $3^{x}$ à partir de $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x)$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $3^{x}$ à partir de $- \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $3^{x}$ à partir de $3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $\ln (3) \log_{3} (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) \cdot \frac{x \ln (3)}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.3

Associez $\ln (3) \log_{3} (x)$ et $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{x} \frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.5.1.2

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x {\ln (3)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x \ln^{2} (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3^{x} \frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.3

Associez $3^{x}$ et $\frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)} \cdot \frac{1}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.5

Associez.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.6

Multipliez $3^{x}$ par $1$ .

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

Étape 5.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$ .

$\frac{3^{x} (x \ln^{2} (3) \log_{3} (x) - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$